[Dutchak Vitaly]

Это чистый JS тут TYPO3 не при чем.

Для начала в шаблоне создайте

<div id=search_box style="position:absolute;z-index:10;visibility:hidden;">
      Тут код формы поиска со всеми нужными скрытыми полями и кнопкой  "Искать"
</div>

Потом нужен JS код:

<script>
  function showSearchBox(e){
      if (!e){
        e = windows.event
      }
      
      x = e.clientX;
      y = e.clientX+document.body.scrollTop;
      
      sBox = document.getElementById('search_box');
      sBox.style.left = x;
      sBox.style.top = y+10;
      sBox.style.visibility = 'visible';
      
      this.onclick = function (e) {hideSearchBox(e);}
  }   

  function hideSearchBox (){

    sBox = document.getElementById('search_box');
    sBox.style.visibility = 'hidden';
    this.onclick = function (e) {showSearchBox(e);}
    
  }
  
</script>

Теперь просто на кнопку или ссылку ставьте onclick = "showSearchBox(e)"


За работоспособность кода не ручаюсь, не проверял, но по идеи должно работать